Elementare Beispielsaufgaben

EBA 1

Erkläre anhand der Definition der Quadratwurzel, was für nicht angegebene Quadratwurzelwerte gelten muss bzw. ob der angegebene Quadratwurzelwert korrekt ist:

1. $ √{8} $
2. $ √{√5} $
3. $ √{0} = 0 $
4. $ √{(-9)^2} = -9 $
5. $ √{-4^2 + 5^2} = 9 $
6. $ √{a^2} = -a $ für $ a ∈ \ℚ^{-} $

EBA 2

Bestimme ohne Hilfsmittel je den Wert der Quadratwurzel bzw. einen groben Näherungswert für die Quadratwurzel. Erkläre dein Vorgehen:

1. $√{64}$
2. $√{0,0169}$
3. $√{(-34,2\ov 1)^2}$
4. $√99$
5. $√{10^{16}}$

EBA 3

Vereinfache alle Terme möglichst weitgehend für den Fall, dass alle vorkommenden Variablen so gewählt sind, dass kein Radikand negativ ist:

1. $√{a^2}$
2. $√{a^4}$
3. $√{a^6}$
4. $√{16 b^8}$
5. $√{25 c^2 + 144 c^2}$
6. $√{1 22/50}$
7. $√{(a - 4)^2}$

EBA 4

Beschreibe präzise, was ein indirekter Beweis ist.

EBA 5

1. Beweise $√2 ∉ \ℚ$.
2. Erkläre, was an deinem Beweis sich ändert, wenn $√5 ∉ \ℚ$ bewiesen werden soll.
3. Erläutere anhand deines Beweises, warum nicht auf dieselbe Weise $√4 ∉ \ℚ$ gezeigt werden kann.

EBA 6

1. Erläutere die Grundidee des Heron-Verfahrens.
2. Erkläre, weshalb es sich beim Heron-Verfahren um ein iteratives Verfahren handelt.
3. Nenne die Formel(n) für eine Berechnung eines Näherungswertes von $√3$ nach dem Heron-Verfahren.
4. Implementiere das Heron-Verfahren mithilfe geeigneter Software und ermittle so Näherungswerte für
   1. $√2$,
   2. $√8$ und
   3. $√{0,1}$.

EBA 7

1. Begründe präzise, warum bzw. für welche Berechnungen die Menge $\ℚ$ in der Regel nicht ausreicht.
2. Nenne fünf möglichst verschiedenartige irrationale Zahlen.
3. Nenne die Eigenschaft, die eine Zahl zu einer reellen Zahl macht.
4. Erkläre, inwiefern das Erkennen, dass auch irrationale Zahlen Zahlen sind, einen kulturellen Fortschritt darstellt.

EBA 8

1. Gib an, welche Rechenregeln für rationale, nicht aber für reelle Zahlen gelten.
2. Gib an, ob Folgendes für positive reelle bzw. für positive rationale Zahlen $a, b$ richtig ist. Begründe deine Antwort bei falschen Aussagen mit einem Gegenbeispiel:
   1. $√{a + b} = √a + √b$
   2. $√{a · b} = √a · √b$
   3. $√{a^2} = a$
   4. $√{a/b} = √a/√b$

EBA 9

Alle Variablenwerte sind so gewählt, dass kein Radikand negativ ist. Fasse in fortlaufender Rechnung nachvollziehbar zusammen:

1. $ {√{b^3}}^4 $
2. $ {√{2a} · √{8a^22}} / {√{9b}} $
3. $ √{25x} - √{16x} + √{9x} $
4. $ 4b√b + √{3a^3} - √{16b^3} + √{a - b}^2 $
5. $ √{6(ab)^3} : (-√{3a^2} + √{12a^2}) · √{ab} $

EBA 10

Alle Variablen seien positive reelle Zahlen. Berechne und erläutere dein Vorgehen mit Fachbegriffen:

1. $ √{4a} - √{9a} $
2. $ √{5b} / √b $

EBA 11

Vereinfache nachvollziehbar. Insbesondere müssen alle Nenner rational werden:

1. $ 3/√7 $
2. $ 8/√2 $
3. $ √{4/5} $
4. $ 1 / {-2√2} $
5. $ √2 / {1 - √3} $

EBA 12

Nachfolgend siehst du den Beginn von Versuchen, den Nenner rational zu machen. Erläutere fachsprachlich, wie das versucht wurde und beurteile die Eignung der jeweiligen Methode im konkreten Fall:

1. $ 1 / {-2√3} = {1 · √3} / {-2√3 · √3} = …$
2. $ √3 / {√8 - √{32}} = {√3 · √2}/{(√8 - √{32}) · √2} = …$
3. $ 2 / {√2 - √3} = {2 · (√2 - √3)} / {(√2 - √3) · (√2 - √3)} = … $
4. $ {√5 - 2}/{2 - √5} = {(√5 - 2) · (2 + √5)}/{(2 - √5) · (2 + √5)} = … $

EBA 13

Radiziere (ohne Hilfsmittel) teilweise:

1. $ √{8} $
2. $ √{72} $
3. $ √{8 / 9} $

EBA 14

1. $ 2 : (4 - √2) = {4 + √2}/7 $
2. $ {√2 / {√3 - √5}} = {-√{10} - √6}/2 $
3. $ √2 + π = 4,555806216 $

EBA 15

Vereinfache:

1. $ √{a^3 b} + √{a b^3} $
2. $ √{a^2 - 2ab + b^2} $
3. $ √{0,04a^2 - 0,04b^2} $
4. $ 2√{96x} - √2 · (√{2x} - √3)(√6 + √{4x}) $
5. $ √{36x^2 + 4y^2 - 24xy} - 2√{y^2 - 6xy + 9x^2} $
6. $ √{6a - 12} : √{3c} · √{2c + ca} $

EBA 16

Gib anhand der Graphen Wertemenge, Nullstellen, Intervalle mit positiven bzw. negativen Funktionswerten, den größten bzw. kleinsten Funktionswert der zugehörigen quadratischen Funktion sowie die Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse der Parabel an, soweit diese aus der Abbildung abgelesen werden können:

EBA 17

Beschreibe anhand der bei der vorherigen Aufgabe abgebildeten Graphen das Monotonieverhalten der zugehörigen quadratischen Funktionen.

EBA 18

Erkläre, wie du mit einer dynamischen Mathematiksoftware die Bedeutung des Parameters $d$ in bei quadratischen Funktionen $x ↦ a(x -d)^2 + e$ veranschaulichen kannst.

EBA 19

Die Funktion $f$ ist definiert durch $f(x) = -2 · (x + 5)^2 + 3$. Beschreibe, wie sich der Graph von $f$ verändert, wenn

1. -2 durch 1,
2. 5 durch -2 bzw.
3. 3 durch -1

EBA 20

Bestimme je die Nullstellenanzahl der Funktion:

1. $ a(x) = 2x^2 - 3 $
2. $ b(x) = -(x + 1)^2 - 1 $
3. $ c(x) = -3(x + 7)^2 $
4. $ d(x) = -(x - 5)^2 + z^2 $

EBA 21

Bestimme je alle Lösungen:

1. $ 3(x - 3)^2 - 3 = 0 $
2. $ (x - 1)^2 - 9 = 0 $
3. $ -2(x + 1)^2 - 7 = 0 $
4. $ 0 = 2 - 2(x + 4)^2 $

EBA 22

Bringe auf Scheitelform:

1. $ f(x) = x^2 + 4x $
2. $ f(x) = x^2 + 4x - 1 $
3. $ f(x) = x^2 - 6x + 8 $
4. $ f(x) = x^2 - 2 - x $
5. $ f(x) = 4x^2 + 8x + 3 $
6. $ f(x) = x + 2x^2 + 11x + 19 $
7. $ f(x) = 2x - x^2 $
8. $ f(x) = -x^2 : 2 - 4 + 4x - 7 $

EBA 23

EBA 24

Nenne je den Funktionsterm einer quadratischen Funktion mit den beschriebenen Eigenschaften. Wähle dabei die Darstellungsform sinnvoll:

1. Hat Nullstellen -4 und 5 und Graph ist enger als Normalparabel
2. Keine Nullstellen, Graph ist so weit wie Normalparabel und nach unten geöffnet
3. Graph schneidet y-Achse bei -3, ist nach oben geöffnet und weiter als Normalparabel

EBA 25

Veranschauliche je durch eine geeignete Skizze:

1. Eine quadratische Funktion kann keine Nullstelle haben.
2. Quadratische Gleichungen können genau zwei verschiedene Lösungen haben.
3. Es gibt eine quadratische Gleichung mit nur einer Lösung.

EBA 26

Formuliere eine prägnante Antwort auf folgende Fragen:

1. Wie hängt die Anzahl an Lösungen von $(x - z)^2 - z = 0$ von $z ∈ ℝ$ ab?
2. Für welche $z ∈ ℝ$ ist $x^2 - 1 = z$ lösbar?

EBA 27

Bestimme je die Lösungsmenge mithilfe der Lösungsformel:

1. $ 2x² + 2x - 4 = 0$
2. $ x² - 2,5x + 1 = 0 $
3. $ 18 + 3x² + 15x = 0 $
4. $ x = 4 - {x²}/2 $
5. $ 20 + 15x + 3x² = 0 $

EBA 28

Bestimme je die Lösungen geschickt:

1. $ x² - 7x - 8 = 0 $
2. $ x² + x - 6 = 0 $
3. $ 4x² + 16x = 0 $
4. $ 16 + x² = 8x $
5. $ 27 + x² = 12x $

EBA 29

Nenne das passendste Lösungsverfahren und begründe deine Wahl:

1. $ (x - 3)² = 0 $
2. $ x² + 6x - 7 = 0 $
3. $ 5x² + 125x = 0 $
4. $ 3x² - √3 = √3 x $
5. $ x² + 49 = 14x $
6. $ 2(x - 3)² = 4 $

EBA 30

Beim einmaligen Wurzelwurf ist $K$ das Ereignis „1 oder 2 gewürfelt“ und $G$ das Ereignis „gerade Zahl gewürfelt“. Veranschauliche je graphisch:

1. $ K $
2. $ \ov G $
3. $ K ∩ G $
4. $ K ∪ G $
5. $ \ov K ∩ G $
6. $ \ov K ∪ G $
7. $ \ov{K ∪ G} $
8. $ \ov{K} ∪ \ov{G} $

EBA 31

Die Klasse 9z organisiert den Unterstufenfasching. Dabei haben die Schüler(innen) die Wahl, ob sie am Programm (Ereignis $P$), der Musikauswahl ($M$) oder der Spieleauswahl ($S$) mitwirken wollen und ob sie beim Aufbau ($V$) oder beim Abbau ($\ov V$) helfen.

Beschreibe die nachfolgenden Ereignisse in Worten:

1. $ \ov S $
2. $ P ∩ V $
3. $ S ∪ M $
4. $ \ov P ∩ V $
5. $ \ov{S} ∪ \ov{V} $
6. $ \ov{\ov{V} ∪ M} $
7. $ \ov V ∩ S ∩ \ov{M} $
8. $ \ov V ∩ (S ∪ \ov{M}) $

EBA 32

Führe geeignete Ereignisse ein und beschreibe das angegebene Ereignis beim angedeuteten Zufallsexperiment als Komplement, Vereinigungsmenge, Schnittmenge, … Orientiere dich dabei möglichst stark am Text:

1. Ereignis, dass beim Ziehen eines Loses eine Niete gezogen wird.
2. Ereignis, dass beim Ziehen einer Karte eine rote Karte gezogen wird und ein König darauf abgebildet ist.
3. Ereignis, dass beim Würfeln eine ungerade Zahl oder eine Sechs gewürfelt wird.
4. Ereignis, dass beim Drehen eines Glücksrades weder eine gerade Zahl noch ein rotes Feld heraus kommt.

EBA 33

1. Erstelle dazu eine vollständig ausgefüllte Vier-Felder-Tafel und folgere daraus die absoluten Häufigkeiten für
2. $X ∩ \ov Y$ sowie
3. $\ov X ∪ Y$.

EBA 34

Die Entwickler(innen) einer App haben aufgrund der vorliegenden 1000 Absturzberichten dazu einen schweren Fehler entdeckt. Um den Fehler besser zu verstehen, untersuchen sie, welche Rolle es spielt, ob eine Person angemeldet ist (Ereignis $A$) bzw. ob jemand bereits die interne Bewertungsfunktion (Ereignis $B$) genutzt hat. 75 % der Absturzberichte stammen von Nutzer(inne)n, die angemeldet waren und die Bewertungsfunktion genutzt haben. Bei 200 wurde zuvor die Bewertungsfunktion nicht genutzt, nur die Hälfte davon stammt von angemeldeten Nutzer(inne)n.

Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vier-Felder-Tafel. Entscheide anschließend, ob die angegebene Information mit den vorliegenden Daten bestimmt werden kann. Wenn ja, berechne, und begründe andernfalls, wieso nicht:

1. Die Anzahl der Personen, die die App nutzen, ohne angemeldet zu sein.
2. Der Anteil der nicht Angemeldeten an den gesamten App-Nutzenden.
3. Der Anteil der Absturzberichte, die von denjenigen stammt, die die Bewertungsfunktion zuvor genutzt haben.
4. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Absturzbericht von einer Person stammt, die nicht angemeldet war, jedoch die Bewertungsfunktion bereits genutzt hat.
5. Die Wahrscheinlichkeit, dass irgenwann nach Nutzung der Bewertungsfunktion die App abstürzt.
6. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Absturzbericht von einer angemeldeten Person stammt.

EBA 35

EBA 36

EBA 37

Überprüfe je, ob die Viereck mit den angegebenen Eckpunkten ähnlich ist zum Viereck mit den Eckpunkten (3 | 1), (7 | -2), (10 | 2) und (6 | 5):

1. (-1 | 1), (-1 | -2), (2 | -2) und (2 | 1)
2. (7 | 6), (3 | 9), (-1 | 6) und (3 | 3)
3. (8 | 9), (8 | 4), (12 | 4) und (12 | 9)

EBA 38

Überprüfe je, ob die Dreiecke zueinander ähnlich sein müssen:

1. Zwei gleichseitige Dreiecke
2. Zwei gleichschenklige Dreiecke
3. Zwei in zwei Seitenlängen und dem Zwischenwinkel übereinstimmende Dreiecke
4. Ein Dreieck mit den Seitenlängen 6 cm, 9 cm und 12 cm und eins mit den Seitenlängen 6 cm, 8 cm und 4 cm
5. Ein Dreieck, bei dem eine Seitenlänge $√2$-mal so lang und die beiden an der Seite anliegenden Winkel gleich groß sind wie beim zweiten Dreieck

EBA 39

1. links und
2. rechts

EBA 40

$g$ und $h$ sind parallele Geraden. Berechne $x$:

EBA 41

EBA 42

1. bei einer Figur deren Flächeninhalt und
2. bei einem Körper dessen Volumen ändert.

EBA 43

Beantworte jeweils die Frage und begründe deine Antwort. Schätze die Antwort ab, wenn du sie nicht exakt berechnen kannst:

1. Bei einer Pizzeria kosten große Pizzen mit einem Durchmesser von 27 cm doppelt so viel wie kleine Pizzen mit 18 cm Durchmesser. Welche Variante bietet (bei gleicher Pizzadicke usw.) das bessere Preis-Leistungs-Verhältnis?

2. Ein Saatguthersteller verkauft seine Wildblumenmischung normalerweise im quaderförmigen 100 g-Karton. Als Werbeaktion zum zehnjährigen Firmenjubiläum werden Packungen produziert, deren Seiten um 10 % größer sind. Wie viel Saatgut müsste darin enthalten sein?

3. Eine Schule besteht aus einem Altbau und einem Neubau. Der überdachte Innenhof des Altbaus bietet Platz für 30 Personen. Die Architektin des Neubaus hat den Innenhof des Altbaus detailgetreu nachgebaut. Allerdings ist alles (Länge, Breite, Höhe des Hofes und von nicht bepflanzten Bereichen) exakt doppelt so groß. Für wie viele Personen reicht der Platz im Innenhof des Neubaus?

4. Ein Baumarkt verkauft verschieden große Eimer, die zueinander ähnlich sind. Um wie viel ist der Durchmesser eines Zwanzig-Liter-Eimers größer als der eines Zehn-Liter-Eimers?

EBA 44

Erstelle je eine Schritt-für-Schritt-Anleitung als stichpunkthafte Aufzählung, wie du mithilfe einer dynamsichen Mathematiksoftware die genannte Aufgabe umsetzen kannst:

1. Finde die anschauliche Bedeutung der Parameter $a$ und $n$ für Funktionen der Form $f(x) = a · x^n$ heraus.

2. Veranschauliche, dass alle Funktionen der Form $f(x) = a · x^n$ mit selben Wert für $a$ zwei gemeinsame Punkte haben.

EBA 45

Beschreibe je den Verlauf des zugehörigen Graphen. Gib dabei insbesondere Symmetrien, Monotonieverhalten und alle Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen an. Veranschauliche auch mit einer Skizze:

1. $f(x) = -9 x^9$
2. $f(x) = +0,2 x^4$
3. $f(x) = x^3$
4. $f(x) = -0,04 x^{16}$

EBA 46

Nenne je die Anzahl an Lösungen und begründe mit einer Skizze:

1. $7 x^3 = 5$
2. $x^8 = 8$
3. $-2 x^11 = -40$
4. $0,3 x^7 = -2$
5. $9 + x^4 = 4$
6. $- {x^10}/4 = 3$

EBA 47

1. 4,
2. 1,
3. -3,
4. 0,001 bzw.
5. $√{2}$

EBA 48

Bestimme je rechnerisch und nachvollziehbar die Lösungsmenge:

1. $4 - x^3 = x^3$
2. $(x^2 - 2)(x^2 + 2) + 20 = 0$
3. $-0,1 x^6 = -0,6$
4. ${a^5}/4 = 175 · 10^3$

EBA 49

Erläutere den Zusammenhang zwischen Potenzen und allgemeinen Wurzeln.

EBA 50

Wandle alle Potenzen in Wurzeln und alle Wurzeln in Potenzen um:

1. $√7$
2. $-6^{0,25}$
3. $√^{7}{10}$
4. $36^{1/3}$
5. $3^{0,8}$
6. $√^{6}{3a^2}$
7. $x^{-0,75}$

EBA 51

Fasse je in einer fortlaufenden, klar strukturierter Rechnung zusammen (für $x > 0$):

1. $√{2x^3} · √^4{3x^{-6}}$
2. $√^5{x^{24}} : 3x^2$
3. $√{x^6} - √^4{x^3} · √^4x^9$
4. $√^3{27 √^4{x^6}}$
5. $√x : √^3{x} + 1024√^{12}{4x^2}$
6. $√^5{1/√^3{2x^2}}$

EBA 52

EBA 53

EBA 54

Gib zu jedem der folgenden Sätze an, was Voraussetzung und was Folge ist (und ggf. die Situation). Formuliere den Umkehrsatz und gib an, ob der Umkehrsatz wahr ist:

1. Satz des Thales
2. Kommutativgesetz der Addition für rationale Zahlen
3. SWS-Satz

EBA 55

Beweise, dass der Satz des Pythagoras wahr ist.

EBA 56

Formuliere den Umkehrsatz zum Satz des Pythagoras und diskutiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede vom Satz des Pythagoras und dessen Umkehrsatz.

EBA 57

Drei der vier Seiten eines viereckigen Grundstücks sind 18 m, 24 m und 10 m lang. Die Diagonale zu den beiden längsten dieser Seiten ist exakt 30 m lang, die Diagonale zu den 24 m und 10 m langen Seiten misst exakt 26 m.

Bestimme nachvollziehbar, um welche geometrische Figur es sich bei dem Grundstück handelt. Berechne die Länge der vierten Seite und den Flächeninhalt des Grundstücks. Erläutere dein Vorgehen anhand einer aussagekräftigen Skizze.

EBA 58

Berechne jeweils die gesuchte Größe und erläutere deinen Lösungsweg anhand einer selbst erstellten, aussagekräftigen Skizze:

1. Wie lange ist die Raumdiagonale eines Quaders mit den Seitenlängen 2, 3 und 4?

2. In welcher Höhe ist ein zuvor 9 m hoher Fahnenmast abgeknickt, wenn seine Spitze 6 m von der Verankerung im ebenen Boden entfernt den Boden berührt?

EBA 59

Begründe, warum die Größe eines spitzen Innenwinkels alle Verhältnisse von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck festlegt.

EBA 60

Bestimme je näherungsweise, nachvollziehbar und vorrangig durch Messen an einem Dreieck:

1. $\sin(30°)$
2. $\cos 30°$
3. $\tan(30°)$
4. Winkel $α$, für den $\sin α = 0,8$ gilt
5. Winkel $β$, für den $\tan β = 0,75$ gilt
6. Winkel $γ$, für den $\cos(γ) = 0,2$ gilt

EBA 61

1. $\tan(45°)$,
2. $\sin(45°)$,
3. $\sin 30°$ und
4. $\cos(30°)$

EBA 62

Bestimme je näherungsweise mithilfe deines Taschenrechners:

1. Wie lang sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypothenusenlänge 7 cm und einem Innenwinkel von 25°?

2. Wie lange sind Gegenkathete und Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Ankathetenlänge 300 m zum Winkel 49°?

3. Was ist der kleinste Innenwinkel eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängenlängen 4 dm und 5 dm?

4. Welchen spitzen Winkel schließen Seiten der Länge 2,5 mm und 0,4 cm in einem rechtwinkligen Dreieck ein?

EBA 63

Begründe je, warum der durch die Gleichung beschriebene Zusammenhang für jeden spitzen Winkel φ gilt:

1. $\tan φ = {\sin φ}/{\cos φ}$
2. $(\sin φ)^2 + (\cos φ)^2 = 1$
3. $\sin(φ) = \cos(90° - φ)$
4. $\cos(φ) = \sin(90° - φ)$

EBA 64

Erkläre an einem konkreten Beispiel, dass du mit deinem neuen Wissen über die Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken nun Aufgaben rechnerisch lösen kannst, bei denen du vorher nur mit Konstruktionen arbeiten konntest. Begründe, inwiefern dies ein Fortschritt ist.

EBA 65

Um abschätzen zu können, wie rentabel eine Solaranlage für ein konkretes Haus ist, willst du die Dachschräge bestimmen (also den Neigungswinkel des Dachs). Dafür bist du auf den Dachboden des Hauses geklettert. Dass dort viel herum liegt, erschwert deine Messung sehr. Problemlos kannst du aber die Länge der 3 m entfernt stehenden tragenden Säulen messen, die dieselbe Dachfläche tragen. Diese sind 3 m und 1,2 m lang.

Berechne die Dachschräge. Erläutere deinen Lösungsweg in angemessener Form, fachsprachlich korrekt und anhand einer aussagekräftigen Skizze.

EBA 66

Für einen Versuch in Physik wird ein Fadenpendel benötigt. Bei einer Auslenkung von 30° (an Aufhängung gemessener Winkel zwischen ausgelenktem Fadenpendel und Fadenpendel in Ruheposition, also wenn es senkrecht hängt) darf eine unten am Fadenpendel hängende Kugel sich höchstens 2 cm höher als in der Ruheposition sein.

Bestimme, welche Fadenlängen möglich sind. Erläutere deinen Lösungsweg in angemessener Form, fachsprachlich korrekt und anhand einer aussagekräftigen Skizze.

EBA 67

Bestimme jeweils das Vorzeichen und veranschauliche deine Argumentation am Einheitskreis:

1. $\sin 95°$
2. $\cos 300°$
3. $\sin 180°$
4. $\sin 351°$
5. $\cos 256°$
6. $\tan 200°$

EBA 68

Bestimme nur mittels Einheitskreis und auswendig gelernter Werte, welcher Winkel die geforderten Sinus- und Kosinuswerte hat:

1. $\sin α = 0$ und $\cos α < 0$
2. $\sin β > 0$ und $\cos β = - {√2}/2$
3. $\sin γ = -{√3}/2$ und $\cos γ < 0$
4. $\sin δ < 0$ und $\cos δ = {√3}/2$
5. $\sin ε + \cos ε = 1$ und $\cos ε > 0$

EBA 69

Bestimme mithilfe eines Taschenrechners auf ganze Grad gerundet die Größe aller Winkel aus $[0°; 360°[$, für die gilt:

1. $\sin α = 0,4$
2. $\cos β = 0,4$
3. $\cos γ = -1$
4. $\sin δ = -0,6$
5. $\cos ε = - 1/3$
6. $\cos λ = 3$
7. $\sin φ = -0,9$

EBA 70

Erkläre folgende Aspekte der Herleitung des Sinussatzes:

1. Wozu ist es nötig, die Höhe einzuzeichnen?
2. Warum spielt es schlussendlich keine Rolle, ob sich die Höhe innerhalb oder außerhalb des Dreiecks befindet?
3. Warum folgt aus der nur zwei Innenwinkel bzw. Dreiecksseiten berücksichtigenden Herleitung bereits, dass der Quotient aus Sinus von Innenwinkel und Länge der dem Winkel gegenüber liegenden Seite für alle Innenwinkel gleich ist?

EBA 71

Du wanderst direkt am rechten Ufer eines breiten Flusses entlang und möchtest herausfinden, wie breit der Fluss ist. Dank des Geodreiecks in deinem Rucksack kannst du abschätzen, dass du dich vom Wanderwegverlauf aus 42° zu einem markanten Gegenstand am linken Flussufer drehen musst, damit er direkt vor dir ist. Als du hundert Meter weiter gegangen bist (und noch bevor du dem markanten Gegenstand am nächsten gekommen bist), sind es 53,5°.

Berechne aus diesen Informationen die Flussbreite auf ganze Meter gerundet.

EBA 72

Erkläre, wieso der Satz des Pythagoras ein Spezialfall des Kosinussatzes ist.

EBA 73

Emre wohnt genau dort, wo sich zwei Radwege kreuzen. Alle seine Großeltern kann er über die Radwege direkt erreichen. Die Eltern seiner Mutter wohnen 0,5 km entfernt. Will er zu den Eltern seines Vaters, muss er den anderen Radweg nehmen und 2 km weit fahren. Die beiden Wege schließen einen 70°-Winkel ein.

Bestimme, wie weit voneinander entfernt die Großelternpaare wohnen, wenn beide Radwege schnurgerade verlaufen.

EBA 74

Erläutere, wieso das Beherrschen von Sinus- und Kosinussatz vorteilhaft ist.

EBA 75

Gesucht wird die Gleichung einer Parabel, die durch die angegebenen Punkte verläuft. Stelle nur das nötige Gleichungssystem auf:

1. $A(1|1)$, $B(3|3)$ und $C(7|7)$
2. $A(1|-2)$, $B(2|5)$ und $C(9|3)$
3. $X(0|0)$, $Y(2|6)$ und $Z(-2|6)$
4. $(-1|-2)$, $(a|a)$ und $(3|a + 3)$