Elementare Beispielsaufgaben

EBA 1

Geben Sie je an, ob folgende Grenzwerte existieren und ‐ wenn ja ‐ nennen Sie ihren Wert:

1. $ \lim↙{x→∞}{1/x} $
2. $ \lim↙{x→-∞}{2^x} $
3. $ \lim↙{x→∞}{x^4} $
4. $ \lim↙{x→-∞}{\cos(2πx)} $
5. $ \lim↙{x→-∞}{√x} $
6. $ \lim↙{x→∞}7 $

EBA 2

Berechnen Sie in $ ℝ ∪ \{±∞\}$ oder geben Sie an, wenn kein Ergebnis definiert ist:

1. $ ∞ ÷ 100 $
2. $ -∞ ÷ ∞ $
3. $ 9 - ∞ $
4. $ (-∞)^2 $
5. $ -∞ + ∞ $
6. $ 0 · ∞ $
7. $ (-5) ÷ ∞ $
8. $ ∞ ÷ (-8) $
9. $ ∞ + 32 $
10. $ -∞ · ∞ $

EBA 3

Bestimmen Sie nachvollziehbar:

1. $ \lim↙{x→-∞}{3 · 5^x} $
2. $ \lim↙{x→∞}{x · 4^x} $
3. $ \lim↙{x→∞}{x^3 + x + 3} $
4. $ \lim↙{x→∞}{x^4 - x^3} $
5. $ \lim↙{x→-∞}{x^5 - 2x^2} $
6. $ \lim↙{x→∞}{{2x^4 - x}/{x^3 - 3x^2}} $
7. $ \lim↙{x→∞}{{x^3 + x^2}/{x^5 - 4}} $
8. $ \lim↙{x→-∞}{{2x^3 - 3}/{5x^3 - x^2 + x}} $

EBA 4

1. $f: x ↦ 2^x + 2^{-x}$,
2. $g: x ↦ 3^x - 3^{-x}$ und
3. $h: x ↦ 4^{(x - 1)(x + 2)}$

EBA 5

Der Graph zu $f(x) = |x|$ soll wie angeben verändert werden. Beschreiben Sie die nötige Änderung am Funktionsterm in Worten und geben Sie den neuen Funktionsterm an:

1. In $y$-Richtung auf Hälfte gestaucht
2. In $x$-Richtung auf das Dreifache gestreckt
3. An $x$-Achse gespiegelt, dann 3 nach oben verschoben
4. Um 3 nach oben verschoben, dann an $x$-Achse gespiegelt
5. Um 4 nach rechts verschoben, dann an $y$-Achse gespiegelt

EBA 6

Bestimmen Sie je anhand des Terms alle Definitionslücken und Nullstellen:

1. $ {x^2 + 6x + 9}/{2x² + 4x} $
2. $ {2x^7 - 32x^3}/{x³ - x² - 6x} $
3. $ 1/{x^2 + x - 12} $
4. $ {4 - 8x}/{4x^2 + 8x - 5} $

EBA 7

Geben Sie je die Werte von $\lim↙{x→↙{<}k}f(x)$ und $\lim↙{x→↙{>}k}f(x)$ an. Wenn es sich nicht um grundlegende Grenzwerte handelt, muss die Rechnung nachvollziehbar wiedergegeben werden:

1. $ k = π, f(x) = \sin x $
2. $ k = 3, f(x) = 1/{x - 3} $
3. $ k = 4, f(x) = 1/{x - 3} $
4. $ k = -1, f(x) = {x - 1}/{x + 1} $
5. $ k = 2, f(x) = {-3x}/{x² - 4x + 4} $
6. $ k = -3, f(x) = {3x^2 + 18x + 27}/{x^2 - 9} $

EBA 8

Bestimmen Sie je die Art er offensichtlichen Definitionslücke(n):

1. $ 1/x $
2. $ {x^2 + 1}/{(x + 2)^2} $
3. $ {2x - 8}/{(x - 4)^2} $
4. $ {x^2 + x - 6}/{(x - 3)(x - 2)} $

EBA 9

Bestimmen Sie alle waag- und senkrechten Asymptoten des zugehörigen Graphen:

1. $ {2x^2 + 4}/{(x - 3)(x + 2)} $
2. $ {-3x^2 - 1}/{x^2 - 3x - 4} $
3. $ {2x}/{x^2 - 6x + 9} $
4. $ {x^8}/{x^2 + 4} $

EBA 10

Geben Sie je die schrägen Asymptoten an und begründen Sie ihre Antwort:

1. $ x ↦ -3x + 9 + {3}/{x} $
2. $ x ↦ {x - 1}/{x^2 + 1} - 1 $
3. $ x ↦ {x^4}/{x - 4} $
4. $ x ↦ {x^3 + 2x + 1}/{x^2 + 2} $
5. $ x ↦ {x}/{x^2 + 2x - 3} $

EBA 11

Diskutieren Sie die Funktion $f\!: x ↦ {x^2 - 9}/{x^3 - 2x^2}$. Bestimmen Sie dabei alle Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen, entscheidende Grenzwerte und untersuchen Sie auf einfache Symmetrien. Skizzieren Sie anhand Ihrer Ergebnisse den Graph.

EBA 12

1. den Differenzenquotient der Funktion $f\!:\; x ↦ x^2$ im Intervall $[1; 3]$ und
2. erkläre die Bedeutung dieses Wertes.

EBA 13

1. 1,
2. 3,
3. -1 und
4. erkläre die Bedeutung dieser Werte.

EBA 14

EBA 15

1. $a: x ↦ x$ an der Stelle -5,
2. $b: x ↦ x^3$ an der Stelle 1 und
3. $c: x ↦ 2/{x - 1}$ an der Stelle 3

EBA 16

EBA 17

Berechnen Sie je explizit $f'(x)$:

1. $ f(x) = 4 $
2. $ f(x) = x $
3. $ f(x) = 4 - 2x $
4. $ f(x) = x^4 $

EBA 18

1. eine Stammfunktion und
2. die Ableitungsfunktion

EBA 19

Nennen Sie je die Ableitung:

1. $ a(x) = x^9 $
2. $ b(x) = 1/x $
3. $ c(x) = -37,9 $
4. $ d(x) = x^{-7} $

EBA 20

Berechnen Sie je die Ableitung:

1. $ a(x) = x^2 + 2 $
2. $ b(x) = x^{-4} - x^3 $
3. $ c(x) = 3 - 1/{x^2} $
4. $ d(x) = x^5 - x + 3 $

EBA 21

Berechnen Sie je die zum Funktionsterm passende Ableitung, wenn $x$ das Funktionsargument ist:

1. $ 3x^2 $
2. $ 6x^2 - 2x + 1 $
3. $ 3/{x^2} - 2 + 4x^4 $
4. $ x · (3 - x^2) $
5. $ 4x^4 - x^3 + 0,5x^2 - 9x + 3 $

EBA 22

Die Ableitung von $\sin x$ ist $\cos x$, $f$, $g$ und $h$ seien differenzierbar. Differenzieren Sie:

1. $ a(x) = x^2 · \sin x $
2. $ b(x) = 4x · \sin x - 2x^2 · \sin x $
3. $ c(x) = (\sin x)^2 $
4. $ d(x) = {f(x)}/x $
5. $ e(x) = f(x) · g(x) · h(x) $

EBA 23

Differenzieren Sie:

1. $ a(x) = {x^2}/{x^2 + 1} $
2. $ b(x) = {3x^2 - 2x + 1}/{3x^5 - x^3} $
3. $ c(x) = {(x - 2) ^2}/{x - 3} $
4. $ d(x) = {5x^4 - 3}/{x^8 - 4x^4 + 4} $

EBA 24

EBA 25

Die Ableitung von $\sin x$ ist $\cos x$. Nennen Sie je zwei Stammfunktionen:

1. $ a(x) = 1/5 x^4 $
2. $ b(x) = x^9 $
3. $ c(x) = x^2\cos x + 2x \sin x $

EBA 26

Zeichnen Sie in einem dreidimensionalen Koordinatensystem ein:

1. $ P(3 | 1 | -2) $
2. $x_1x_2$-Ebene
3. Alle Punkte, bei denen die $x_2$-Koordinate Gegenzahl der anderen beiden Koordinaten ist
4. Die zur $x_1-x_2$-Ebene parallele Ebene durch $ (0 | 3 | 2) $

EBA 27

EBA 28

Geben Sie jeweils die Koordinaten folgender Punkte an:

1. Spiegelt man $A$ erst an der $x_1-x_2$-Ebene und dann an der $x_2-x_3$-Ebene, so erhält man $ A''(1/2 | -1 | 9) $.
2. $C$ liegt auf der $x_3$ -Achse und die Summe seiner Koordinaten ergibt 5.
3. Egal an welcher der Koordinatenebenen $B$ gespiegelt wird: Der Bildpunkt ist immer $B$.

EBA 29

Wir betrachten die Punkte $ X(1 | 3 | 5) $ und $ Y(-1 | 2 | -7) $ . Geben Sie folgende Vektoren an:

1. Ortsvektor zu $ X $
2. Verschiebungsvektor ${XY}↖{→}$
3. Gegenvektor zu ${XY}↖{→}$
4. Nullvektor

EBA 30

$a↖{→}$ und $b↖{→}$ seien die Ortsvektoren zu $ A(1 | 3 | 5) $ und $ B(-1 | 2 | -7) $. Vereinfachen Sie (wenn möglich) folgende Terme, ohne zunächst einzusetzen, und berechnen Sie anschließend:

1. $- a↖{→}$
2. $a↖{→} - b↖{→}$
3. $(b↖{→} + 3a↖{→}) - b↖{→}$
4. $2/3 a↖{→} + 1/3 b↖{→}$

EBA 31

Vereinfachen Sie:

1. ${XZ}↖{→} · 0$
2. ${YX}↖{→} - 2 · {XY}↖{→}$
3. $({ZX}↖{→} - 2 · {YX}↖{→} + {ZX}↖{→}) : 2 + {ZW}↖{→}$
4. ${XY}↖{→} - {XZ}↖{→} + 1/3 · {YZ}↖{→} · 3 + {ZZ}↖{→}$

EBA 32

1. $a↖{→}, b↖{→}$ und ${BC}↖{→}$ bzw. von
2. $d↖{→}, {AD}↖{→}$ und ${AC}↖{→}$

EBA 33

Lösen Sie:

1. $(\table 3;1;0) + x · (\table 0;0;2) = (\table 3;1;4)$
2. $(\table 6;-2;-3) + x · (\table 2;-3;-2) = (\table 2;4;1)$
3. $(\table 3;-4;-6) + 3 x↖{→} = (\table 0;-1;-9)$
4. $(\table 4;3;2) + x · (\table 2;-3;2) = (\table 4;1;2)$

EBA 34

1. der Ortsvektoren,
2. von ${AB}↖{→}$ und
3. von $[AB]$.

EBA 35

1. $(\table 6;-2;-3)$,
2. $(\table 2/3;- 1/2;-1)$ und
3. $(\table 4w;-5;3w)$ für $w ∈ \ℝ$.

EBA 36

1. $ (2 | 4 | 4) $,
2. $ (-6 | 5 | 6) $ und
3. $ (1 | -3 | -1) $.

EBA 37

Bestimmen Sie rechnerisch und nachvollziehbar zu jeder Monotonieart das größtmögliche Intervall, in dem diese Monotonieart vorliegt:

1. $a(x) = 10 - x^2$
2. $b(x) = x^3 - 9x^2 + 27x$
3. $c(x) = -(2 -x)^{-1}$
4. $d(x) = 0,25x^4 - x^3 - 0,5x^2 + 3x$

EBA 38

Skizzieren Sie jeweils den Graphen einer Funktion, auf die die Beschreibung zutrifft:

1. Beim Tiefpunkt $(1 | 3)$ und beim Hochpunkt $(4 | 5)$ sind die globalen Extremstellen zu finden.
2. -3, 0 und 3 sind lokale, aber keine globalen Extremstellen.
3. Das lokale Maximum -1 bei -1 und das lokale Minimum 1 bei 1 sind die einzigen Extremwerte.

EBA 39

Berechnen Sie je Art und Lage aller lokalen Extremstellen:

1. $a(x) = x^3 - 9x^2 + 24x + 7$
2. $b(x) = (x + 12) · (x^2 + 48)$
3. $c(x) = -0,25x⁴ + 4/3 x³ + 1,5x² - 18x$
4. $d(x) = {x² + 2}/{10 - 5x}$

EBA 40

1. die Definitionsmenge,
2. ob einfache Symmetrieeigenschaften vorliegen,
3. die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen,
4. das Verhalten an den Definitionslücken und für $x → ±\∞$,
5. das Monotonieverhalten, sowie
6. Art und Lage lokaler Extremstellen.
7. Skizzieren Sie anschließend den Graphen.

EBA 41

Leiten Sie ab:

1. $a(x) = \sin(3) + √2 \cos x$
2. $b(x) = \sin x · \cos x$
3. $c(x) = (x - \sin x)^2$
4. $d(x) = \tan x$

EBA 42

Geben Sie je eine möglichst nicht triviale Möglichkeit $f = g ◦ h$ für die nicht vorgegebenen Funktionen an:

1. $g(x) = x^2 + 1$, $h(x) = x · \sin x$
2. $f(x) = \cos(2x)$
3. $f(x) = (x + 1) · \sin x$
4. $f(x) = x^6$, $g(x) = x^2$
5. $f(x) = 1/{x^2}$, $h(x) = x^2$
6. $f(x) = x$, $h(x) = 4x + 2$

EBA 43

Berechnen Sie je die Ableitung mit der Kettenregel:

1. $a(x) = \sin(x^2)$
2. $b(x) = (\sin x)^3$
3. $c(x) = x^4$
4. $d(x) = {3x - 1}/{(2x + 1)^2}$
5. $e(x) = (\cos {2x})^2$
6. $f(x) = (\sin(\cos(x^2 + 1)))^5$

EBA 44

EBA 45

Weisen Sie je nach, dass die Funktion umkehrbar ist, bzw. begründen Sie, warum die Funktion nicht umkehrbar sein kann:

1. $a(x) = -1$
2. $b(x) = x^3 + x$
3. $c(x) = 1/x$
4. $d(x) = (\cos x)^2$
5. die Kosinusfunktion in $[0; 3]$

EBA 46

Berechnen Sie je die Ableitung effizient:

1. $a(x) = x^{((2/3)^2)}$
2. $b(x) = √x · \cos x$
3. $c(x) = (x^2 · \sin x)^{1,5}$
4. $d(x) = 1/{√^4{x}}$
5. $e(x) = \sin(√{x + 1} + x)$

EBA 47

Berechnen Sie alle Skalarprodukte aus Paaren folgender Vektoren: $a↖{→} ≔ (\table 1; 2; 3)$, $b↖{→} ≔ (\table -2; 0; -1)$, $c↖{→} ≔ (\table 1; 4; -5)$ und $0↖{→}$.

EBA 48

Berechnen Sie, welche Winkel die jeweils angegebenen Vektoren einschließen:

1. $a↖{→} ≔ (\table -1; 2; 1)$ und $b↖{→} ≔ (\table 1 - √3; 4; 1 + √3)$
2. $c↖{→} ≔ (\table 1; -1; 0)$ und $d↖{→} ≔ (\table 0; 0; 7)$
3. $a↖{→} ≔ (\table -1; 2; 1)$ und $7{a}↖{→}$
4. $c↖{→} ≔ (\table 1; -1; 0)$ und $0↖{→}$

EBA 49

Prüfen Sie alle Paare aus folgenden Vektoren auf Orthogonalität: $a↖{→} ≔ (\table 1; -1; 2)$, $b↖{→} ≔ (\table 2; 3; 1)$, $c↖{→} ≔ (\table 1; 0; -5)$ und $0↖{→}$.

EBA 50

Entscheiden Sie, ob nachfolgende Aussagen für alle Vektoren $a↖{→}, b↖{→}, c↖{→} ∈ ℝ^3$ und alle Skalare $λ ∈ ℝ$ erfüllt sind, und begründen Sie Ihre Entscheidung:

1. $a↖{→} ∘ b↖{→} = b↖{→} ∘ c↖{→}$
2. $a↖{→} · (b↖{→} ∘ c↖{→}) = (a↖{→} ∘ b↖{→}) · c↖{→}$
3. $a↖{→} ⊥ b↖{→} ⇒ (λa↖{→}) ⊥ b↖{→}$
4. $a↖{→} ∘ c↖{→} = c↖{→} ∘ a↖{→}$

EBA 51

${BC}↖{→} ≔ (\table 4; 4; 7)$ und ${CA}↖{→} ≔ (\table 4; -25; 12)$ sind Katheten des rechtwinkligen Dreiecks $ABC$.

1. Zeigen Sie, dass das Dreieck tatsächlich rechtwinklig ist.
2. Berechnen Sie den Hypothenusenvektor.
3. Berechnen Sie den Innenwinkel zwischen Kathete ${BC}↖{→}$ und dem Hypothenusenvektor auf ganze Grad gerundet.

EBA 52

Berechnen Sie:

1. $(\table 1; 2; 3) × (\table 4; 5; 6)$
2. $(\table 0; 1; 0) × (\table 4; 5; 6)$
3. $(\table -1; 0; 2) × (\table 0; -3; -4)$
4. $(\table 7; -11; 2) × (\table 7; -11; 2)$

EBA 53

Entscheiden Sie, ob nachfolgende Aussagen für alle Vektoren $a↖{→}, b↖{→}, c↖{→} ∈ ℝ^3$ und alle Skalare $λ ∈ ℝ$ erfüllt sind, und begründen Sie Ihre Entscheidung:

1. $a↖{→} × b↖{→} = b↖{→} × c↖{→}$
2. $a↖{→} × b↖{→} = (a↖{→} ∘ b↖{→}) × (a↖{→} + b↖{→})$
3. $(λa↖{→}) × (λb↖{→}) = λ^2(a↖{→} × b↖{→})$
4. $a↖{→} × a↖{→} = 0↖{→}$

EBA 54

Berechnen Sie die Flächeninhalte folgender Figuren:

1. Dreieck $ABC$ mit $A(3 | 7 | 1)$, $B(8 | 8 | 8)$ und $C(0 | 2 | 0)$.
2. Parallelogramm $ABCD$ mit $A(3 | -4 | 3)$, $B(1 | 7 | 4)$, $C(-7 | 14 | 5)$ und $D(-5 | 3 | 6)$.
3. Viereck $VWXY$ mit $V(-3 | -1 | 8)$, $W(-5 | 1 | -7)$, $X(-4 | -1 | -5)$ und $Y(-8 | 5 | -3)$.

EBA 55

Berechnen Sie die Volumina folgender Körper mittels Skalar- und Vektorprodukt:

1. Spat bestehend aus den Vektoren $(\table 0; 3; -4)$, $(\table 1; 0; -1)$ und $(\table 2; 1; 0)$.
2. Vier Ecken des schiefen Prismas $ABCDEF$ (siehe Skizze) sind $A(-1 | 2 | 0)$, $B(3 | 0 | 0)$, $C(4 | 4 | 0)$ und $D(0 | 2 | 3)$.

EBA 56

Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen: $a(x) = x^2 · \ln x$, $b(x) = \ln(x^3)$, $c(x) = \ln{√x}$ und $d(a) = a^2 x^3 ·\ln(a · x)$ für $x ∈ R^{+}$.

EBA 57

Entscheiden Sie, ob folgende Rechenregeln für alle $a, b, c, x ∈ R^+$ und $m ∈ Q$ gültig sind. Beweisen Sie die Richtigkeit Ihrer Entscheidungen:

1. $\ln(x^m) = m \ln x$
2. $\ln(x) = -\ln(-x)$
3. $\ln(a · b · c) = \ln a + \ln b + \ln c$
4. $\ln(a + b) = \ln a · \ln b$

EBA 58

Lösen Sie die Gleichungen:

1. $\ln (2x ) = 3$
2. $e^(x^2) = 4$

EBA 59

Entscheiden Sie, ob folgende Rechenregeln für alle $a, b, c, x ∈ R$ gültig sind. Beweisen Sie die Richtigkeit Ihrer Entscheidungen:

1. $\e^a + \e^b = \e^{a · b}$
2. $\e^{-x} = 1 : \e^x$
3. $(\e^x)^2 = \e^{2x}$
4. $\ln \e^x = x$

EBA 60

Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen: $a(x) = \e^x - \e^{-x}$, $b(x) = \e^(x^2) · \sin(x^2)$, $c(x) = \e^{x · \ln 2}$ und $d(x) = \e^(\e^x)$.

EBA 61

Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen: $a(x) = 3^x$, $b(x) = 2^(3x^4)$ und $c(x) = x^x$.

EBA 62

1. $x - \ln x$,
2. $\e^x - x^3$,
3. ${-3 \ln x}/{√x}$,
4. $\ln(4x) - 7x^3$,
5. $\e^x - \e^{-x}$ und
6. $x^x$

EBA 63

Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen $a(x) = \ln x$, $b(x) = \e^{x - 3}$ und $c(x) = x + \e^{-x}$.

EBA 64

Ein normaler Spielwürfel wird einmal geworfen. Entscheiden Sie je, ob das mathematische Objekt für dieses Zufallsexperiment relevant sein könnte. Geben Sie für alle relevanten auch den jeweiligen Fachbegriff und zu Funktionen zusätzlich die Definitionsmenge an:

1. 2
2. 7
3. $\{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$
4. $\{3\}$
5. $\{2; 4; 6\}$
6. $\{-1; 0; 1\}$
7. Funktion $f$ mit $f(X) = {|X|}/6$
8. Funktion $g$, gegeben durch $g(\{x\}) = 0,3$ für $x=1$ und $x=6$ und $g(\{x\}) = 0,1$ für $x ∈ \{2; 3; 4; 5\}$

EBA 65

Beim einmaligen Werfen eines normalen Spielwürfels können die Ereignisse $U ≔ \{1; 3; 5\}$, $M ≔ \{1; 6\}$ und $A ≔ \{1; 2; 3; 4\}$ auftreten. Geben Sie folgende Ereignisse als Mengen an und veranschaulichen Sie sie durch Mengendiagramme:

1. $\ov M$
2. $U ∪ M$
3. $U ∩ A$
4. $\ov{A ∪ M}$

EBA 66

Beschreiben Sie in Worten folgende Ereignisse:

1. $\ov A$
2. $A ∪ B$
3. $A ∩ C$
4. $B ∩ \ov C$
5. $\ov{A ∪ B}$
6. $A ∪ (\ov{B} ∩ C)$

EBA 67

Vereinfachen Sie soweit wie möglich:

1. $\ov{\ov{A} ∩ \ov B}$
2. $\ov{A ∪ \ov{B} ∪ \ov C}$
3. $\ov{\ov{A} ∩ \ov A} ∪ \ov B$
4. $\ov{A ∪ B} ∩ \ov{B ∪ C}$

EBA 68

Nennen Sie die Kolmogorow-Axiome und geben Sie bei jedem Axiom auch den Fachbegriff dafür an.

EBA 69

$P$ sei die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Zufallsexperimentes mit Ergebnisraum $\Ω$ und beliebigen Ereignissen $A, B ⊆ \Ω$. Folgern Sie folgende Aussagen aus den Kolmogorow-Axiomen:

1. $P(\{\}) = 0$
2. $B ⊆ A ⇒ \P(B) ≤ \P(A)$
3. $\P(A) ≤ 1$
4. $\P(A ∪ B) = \P(A) + \P(B) - \P(A ∩ B)$
5. $\P(\ov A) = 1 - \P(A)$

EBA 70

Berechnen Sie, wenn $\P(A) = 50 %$, $\P(A ∪ B) = 2/3$ und $\P(\ov B) = 0,4$:

1. $\P(\ov A)$
2. $\P(\ov A ∩ \ov B)$
3. $\P(\ov A ∪ \ov B)$
4. $\P(A ∩ B) + \P(A ∩ \ov B)$

EBA 71

Begründen Sie je, ob die beiden Ereignisse unvereinbar sind:

1. $\{1; 2; 3\}$ und $\{4; 5; 6\}$
2. $\{1; 2; 3\}$ und $\{2; 4; 6\}$
3. $\{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ und $\{\}$
4. $A$ und $\ov A$

EBA 72

Bestimmen Sie jeweils, ob die Ereignisse $X$ und $Y$ stochastisch unabhängig sind:

1. $\P(X) = 0,5 $, $\P(Y) = 1/3$, $\P(X ∩ Y) = 1/6$
2. $\P(X) = 0,4 $, $\P(Y) = 1/2$, $ \P_X(Y) = 0,4 $
3. $\P(X) = 0,4 $, $\P(Y) = 1/2$, $ \P_Y(X) = 0,4 $
4. $\P(X) = 0,3 $, $\P(Y) = 2/5$, $\P(X ∪ Y) = 60 %$

EBA 73

Berechnen Sie:

1. $f''(x)$ zu $f(x) = {x^2}/{x^2 + 1}$
2. $g^{(0)}(x)$ zu $g(x) = {\sin x}/{x^2 + 1}$
3. $h^{(4)}(t)$ zu $h(t) = \ln t$
4. $f^{(n)}(x)$ zu $f(x) = \e^{2x}$ für jedes $n ∈ \ℕ$
5. $f^{(4n)}(x)$ zu $f(x) = \cos x$ für jedes $n ∈ \ℕ$

EBA 74

Skizzieren Sie je einen passenden Graphen:

1. Überall rechtsgekrümmt, monoton steigend bis 3, dann fallend.
2. Überall linksgekrümmt, monoton steigend bis 3, dann fallend.
3. Linksgekrümmt bis zum Terrassenpunkt bei 5, Nullstelle bei 3.

EBA 75

$f$ ist eine beliebig oft differenzierbare Funktion. Beantworten Sie:

1. Was bedeutet es für $f'(x)$, wenn 1 eine Wendestelle von $G_f$ ist?
2. $x_{\T}$ ist eine Terrassenstelle von $G_f$. Was bedeutet das für $f''(x)$?
3. $G_{f'}$ ist überall linksgekrümmt. Was bedeutet das für $f''(x)$?
4. Bei $x = 2$ befindet sich ein lokales Maximum von $G_{f'}$. Was bedeutet das für $G_f$?

EBA 76

Bestimmen Sie je das Krümmungsverhalten und alle Wendepunkte:

1. $a(x) = x^3 - 6x^2 + 9$
2. $b(x) = 2x^4 - 4x^3 + 3x^2 - x$
3. $c(x) = 6x^2 - x^4 + 7x$
4. $d(x) = (x^2 + 1)^{-1}$

EBA 77

Weisen Sie nach, dass es sich bei $√2$ um eine Extremstelle von $f\!:x ↦ {0,6}x^5 - 20x^3 + 108x + 7$ handelt, und bestimmen Sie ihre Art.

EBA 78

Bestimmen Sie auf Taschenrechnergenauigkeit gerundet mittels Newtonverfahren die (einzige) Nullstelle von $f(x) = x^7 - 2x^4 - 1$. Dokumentieren Sie wesentliche Schritte Ihres Vorgehens nachvollziehbar.

EBA 79

Bei einem Taschenrechner ist das Ergebnis des letzten Rechenschritts als $\Ans$ gespeichert. Geben Sie eine Funktion an, zu der mittels $\Ans - {e^{\Ans} - \cos(\Ans)}/{e^{\Ans} + \sin(\Ans)}$ näherungsweise eine Nullstelle bestimmt werden kann.

EBA 80

Die Punkte $A(1|5)$ und $B(2|3)$ befinden sich auf einer Parabel mit Steigung $-4$ im Punkt $A$. Bestimmen Sie den Funktionsterm.

EBA 81

Die Abbildung zeigt die Abmessungen eines Werkstücks, dessen Außenform mit einer kubischen Funktion angenähert werden kann. Gestrichelte Linien deuten Tangenten an. Bestimmen Sie die fehlende Abmessung:

EBA 82

$f(x) = \e^{x : 10 - 1} + \e^{1 - x : 10}$ beschreibt den Verlauf eines Seils, dass an zwei gleichhohen Pfosten bei $x = 0$ und $x = 20$ aufgehängt ist. Dabei ist die $x$-Achse der Boden und alle Angaben sind in Metern. Bestimmen Sie, wie sehr es in der Mitte der Pfosten durchhängt.

EBA 83

Ein Produkt soll verpackt werden. $f(x) = x^2 -40x + 500$ beschreibt die Menge an nötigem Polstermaterial in Abhängigkeit von der Paketlänge $x$ in Zentimeter. Für das Produkt ist eine Mindestlänge von 15 cm nötig, wegen sonst höherer Portokosten darf das Paket maximal 35 cm lang sein.

1. Bestimmen Sie, bei welcher Paketlänge die geringste Menge an Polstermaterial benötigt wird.
2. Bestimmen Sie, bei welcher Paketlänge am meisten Polstermaterial verwendet wird.