Grenzwerte für x gegen Zahl berechnen

In vielen Fällen lassen sich Grenzwerte für Funktionsargument gegen kleiner oder größer eine feste reelle Zahl schnell und problemlos berechnen. Diese Online-Unterrichtsstunde zeigt, wie das geht.

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Fragen

Warum ist im dritten Beispiel (Schritt 24) der Grenzwert -∞?
Nach dem Abspalten kannst du in den rechten Faktor einfach -2 einsetzen, das ist der einfachere Teil. Dass der Grenzwert für x gegen größer -2 gleich plus Unendlich ist, kannst du dir auf jede der folgenden Weisen klar machen:
- Als dritter grundlegender Grenzwert (Schritt 17) steht oben im Hefteintrag, dass für x gegen größer x₀ der Grenzwert des Kehrbruchs von x - x₀ gleich Unendlich ist. Genau dieser Fall liegt hier vor, wobei x₀ den Wert -2 hat.
- Du weißt, dass für x gegen größer 0 der Term 1 : x den Grenzwert plus Unendlich hat. Und wenn du das um -2 nach rechts (also um 2 nach links) verschiebst, folgt das daraus.
- Wenn dir bereits klar ist, dass der Grenzwert den Betrag Unendlich hat, du dir aber bezüglich des Vorzeichens unklar bist: Wenn x größer als -2 ist, ist x + 2 = x - (-2) größer als Null, Der Kehrbruch davon ist somit auch größer als Null, also positiv. Daher kann der entsprechende Grenzwert nicht minus Unendlich sein.
- Plotte die Funktion mit dem ersten Faktor als Funktionsterm. Wenn du zusätzlich weißt, dass es abseits der Stelle x = -2 keine wesentliche Änderung im Verlauf des Graphen gibt, kannst du dir damit klar machen, dass die Funktionswerte umso größer sind, je näher eine Stelle x_bis > -2 bei -2 liegt. Jeder beliebig große Funktionswert ist möglich. Darum, und weil alle Funktionswerte zu x ∈ ]-2; x_bis[ größer als der Funktionswert zu x_bis sein muss, sind die Funktionswerte für x gegen größer -2 schließlich größergleich jeder nochso großen reellen Zahl. Nach Definition ist der zugehörige Grenzwert gleich plus Unendlich.
Unendlich mal -4 kann gerechnet werden: Vorzeichen Plus mal Minus ergibt Minus, Unendlich mal 4 ist noch immer größer als alles Erdenkliche. Somit muss der Produktwert und insgesamt der Grenzwert minus Unendlich sein.